吴国平：神秘的三角数

在建筑工地上堆积了许多圆木条，从侧面看去它们堆积成一个三角形的样子。最顶层只有一根，第二层只有二根，第三层只有三根，……。假如可以无限堆积下去，这堆木料究意有多少条圆木？接着我们开始计算：1、2、3、……1+2+3+…+n算起，可是这样计算并不太快，而且容易错误。为了能较准确和迅速得到堆积木条的总数，我们介绍一个古代中国和希腊劳动人民所知道的一个方法：

我先假设n=100，设1+2+3+…+100=S；

100+99+…+3+2+1=S；

两式相加可得：100（100+1）=2S；

所以S=5050.

同样道理我们进一步可设1+2+3+…+n=S；

则n+（n-1）+…+3+2+1=S；

两式相加可得：n（n+1）=2S，

S=n（n+1）/2.

2400年前的希腊数学家毕达哥拉斯称这样的数1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，等等为三角数（Triangular number）。

1 = 1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... ...

保龄球球瓶很多人都见过，它的排列方式就是一个三角数，如下图：

同理像这样的数称为三角形数把1.4.9.16.…这样的数称为正方形数。

宋朝数学家杨辉，他在计算由草束堆成尖垛时候，想到顶层是一束，从上到下逐层增加一束，如果知道底层的束数，就可以算出全部草束的总数。他提出的一个问题是：“今有圭垛草一堆，顶上一束，底阔八束。问共几束？答：36束。”他的计算方法和以上的说明是一样的。

延伸：读者如有兴趣，可以考虑底下几个问题：

1．证明三角数1+2+…+n的最后一位数不可能出现2，4，7，9。例如S1=1，S2=3，S3= 6，S4=10，S5= 15，S6=21，S7=28。这是波兰中学数学比赛出过的一个问题。 2．证明2，3，7，8不会在12+22+32+…+n2的最后一位数出现。

3．是否以上的情形会出现在级数和13+23+…+n3的情况。

4．是否能找到一个公式来表示和1-2+3-4+…+ （-1）n。