说好的信任呢?不要轻信规律
解题时,时不时总有学生通过“几短几长”、“找共同点”的方法来猜选择题的答案,或者按着规律“蒙一下”,甚至直接一个“同理”了结。虽然这种方法有时可能拿到分数,然而对于数学本身而言却是大忌。
用规律作为推理的依据,在数学研究中是十分危险的错误。大多数时候,寻找规律都是有帮助的;但就有这么一些极端的例子,能成立很久的规律竟然是错误的。该证明的还是要老老实实证明,投机取巧总会有倒霉的时候。
貌似整数的数
你知道吗:
哇,小数点后三位都是 9 ,该不会整个数正好就是 20 吧?其实不然:
这还不牛。我们有更像整数的数:
直到小数点后第 6 位才出现第一个不是 9 的数。
而
小数点后面有连续 9 个 9!
素数生成公式?
最近爆出了一则消息称第48个梅森素数已被发现,人们在寻找素数的路上一直孜孜不倦谋求超越。
1772 年,大数学家欧拉(Euler)发现,当 n 是较小的正整数时,代入 n^2 + n + 41 得到的总是素数。事实上,n 从 1 一直取到 39,算出来的结果分别是:
43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281,
313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853,
911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601
这些数全都是素数。第一次例外发生在 n = 40 的时候,此时 40^2 + 40 + 41 = 402 + 40 + 40 + 1 = (40 + 1)(40 + 1) = 41 41。一直要算到 n = 40 ,才能破除这个“伪规律”。
几何也不要妄下结论
圆周上有 n 个点,两两之间连线后,最多可以把整个圆分成多少块?
上图显示的就是 n 分别为 2、3、4 的情况。可以看到,圆分别被划分成了 2 块、4 块、8 块。规律似乎非常明显:圆周上每多一个点,划分出来的区域数就会翻一倍。
事实上真的是这样吗?让我们看看当 n = 5 时的情况:
果然不出所料,整个圆被分成了 16 块,区域数依旧满足 2 n-1 的规律。此时,多数人都会觉得证据已经充分,不必继续往下验证了。偏偏就在 n = 6 时,意外出现了:
此时区域数只有 31 个,推翻了我们之前的猜想。根据规律妄下结论,终究是会翻船的。
最坚挺的猜想
下面是大于 1 的正整数分解质因数后的结果:
2 = 2
3 = 3
4 = 2 2
5 = 5
6 = 2 3
7 = 7
8 = 2 2 2
9 = 3 3
10 = 2 5
...
其中,4、6、9、10 包含偶数个质因子,其余的数都包含奇数个质因子。你会发现,在上面的列表中一行一行地看下来,不管看到什么位置,包含奇数个质因子的数都要多一些。1919 年,匈牙利数学家波利亚(George Plya)猜想,质因子个数为奇数的情况不会少于 50% 。也就是说,对于任意一个大于 1 的自然数 N,从 2 到 N 的数中有奇数个质因子的数不少于有偶数个质因子的数。这便是著名的波利亚猜想。
波利亚猜想看上去非常合理——每个有偶数个质因子的数,必然都已经提前经历过了“有奇数个质因子”这一步。不过,这个猜想却一直未能得到一个严格的数学证明。到了 1958 年,英国数学家哈赛格庐乌(C. B. Haselgrove)发现,波利亚的猜想竟然是错误的。他证明了波利亚猜想存在反例,从而推翻了这个猜想。不过,哈赛格庐乌仅仅是证明了反例的存在性,并没有算出这个反例的具体值。哈赛格庐乌估计,这个反例至少也是一个 361 位数。
1960 年,谢尔曼莱曼(R. Sherman Lehman)给出了一个确凿的反例:N = 906 180 359。而波利亚猜想的最小反例则是到了 1980 年才发现的:N = 906 150 257。也就是说,从 2 一直数到 9 亿多,波利亚猜想看起来都是成立的!