吴国平：难有十全十美，数学中却有完美的存在

我们一起来先看一些数，例如：第一个数6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6；

第二个数28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28；

第三个数496，有约数1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除去其本身496外，其余9个数相加，1+2+4+8+16+31+62+124+248=496；

后面的完全数还有8128、33550336等等。

我们惊奇发现这些数恰好等于它所有的真约数（即除了自身以外的约数，真约数,列出某数的约数，去掉该数本身，剩下的就是它的真约数））之和，这样的自然数叫做完全数，又称完美数或完备数。

因此，我们发现完全数（又称完美数或完备数），是一些特殊的自然数。如前面提到的6、28、496、8128、33550336等等。

在中国历史文化里无不体现这种“完美数”的存在，如有：六谷、六畜、六常（仁、义、礼、智、信、孝），战国时期的六国，秦始皇以六为国数、天上四方有二十八宿等等。正因为6和28是一个完全数，我们可以在中国五千年文明历史长河中，找到它们的影子。因此一些学者认为中国发现完全数比西方还早。

毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。”上帝创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数，因此一些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字。圣奥古斯丁认为6这个数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天；事实上，因为这个数是一个完全数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了。

既然有了完全数，那么其他自然数我们应该来怎么看待呢？如4，它的真约数有1、2，其和是3，比4本身小，像这样的自然数叫做亏数。同样对于“12”这个数，它的真约数有1、2、3、4、6，其和是16，比12本身大，像这样的自然数叫做盈数。因此，完全数就是既不盈余，也不亏欠的自然数。

公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员尼克马修斯在其《数论》一书中有这样一段话：也许是这样，正如美的、卓绝的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不已；是以盈数和亏数非常之多，杂乱无章，它们的发现也毫无系统。但是完全数则易于计数，而且又顺理成章：因为在个位数里只有一个6；十位数里也只有一个28；第三个在百位数的深处，是496；第四个却在千位数的尾巴颈部上，是8128。它们具有一致的特性：尾数都是6或8，而且永远是偶数。

寻找完全数并不是很容易的事，即使今天很多人借助计算机继续探索完全数，一共只找到了48个完全数，并且都是偶数。这个过程一直没有发现奇完全数的存在，因此是否存在奇完全数成为数论中的一大难题。会不会有奇完全数存在呢？至今无人能回答这些问题。尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是12^p+1或36^p+9的形式，其中p是素数，因此在10^300以下的自然数中奇完全数是不存在的。