灵机一动?|?第137期?三角形面积2（答案）

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三角形面积2

如图，三角形ABC被分成6个三角形，已知其中3个三角形的面积，问三角形AOF的面积是多少？

问题分析解答

下面两个看似简单的结论，在处理有关三角形面积问题却是非常有用的：

①当两个三角形高相等（或相同）时，它们的面积之比等于底边之比；

②当两个三角形底边相等（或相同）时，它们的面积之比等于高之比。

根据结论①，我们很容易得到一些线段的比例关系：

BD：DC=40：30=4：3

OB：OE=（40+30）：35=2：1

如果设三个未知三角形的面积分别为x，y，z，如图所示，进一步可以得到：

（x+y+40）：（z+35+30）=4：3

（x+y）：z=2：1

解得：x+y=140，z=70

另有，BF：AF=x：y=（x+70）：（y+z+35）

根据比例的性质 BF：AF=70：（z+35）=2：3

所以，x：y=2：3，从而，x=56，y=84。

题友 @reds利用结论②，列出了更加简洁的方程

设三角形BOF，AOF，AOE面积分别为x，y，z。那么

(x+y)/(z+35)=40/30=4/3，

x/y=70/(35+z)，

z/35=(x+y)/70。

解得，x=56，y=84，z=70。那么，AOF面积为84。

其他的方法还可以用利梅涅劳斯定理和塞瓦定理进行求解，

题友解答精选

◎题友 @小鱼儿的解答：

假设aoe的面积为S1，aob的面积为S2，根据BO：OE=（30+40）：35（两三角形共用一个高，面积比等于底边比）得S1：S2=1：2，同理，根据BD：DC=40：30，得ABD:ADC=4：3，即（S2+40）：（S1+35+30）=4：3，两个方程两个未知数，解得S1=70，S2=140，AF:FB=（70+35）:（40+30）=3:2，S△aof=3/（3+2）140=84

◎题友 @海阔天空的解答：

设三角形BOF AOF AOE的面积分别为a b c。∵△BOD：△COE=2：1，∴a+b/c=2即a+b=2c；又（a+b+40）/（c十65）=BD：CD=4：3，又（35+b+c）/（70十a）=b/a，b/a=3/2。联立上式解得b=84，即△AOF的面积为84。

◎题友 @Stefaniehl的解答：

三角形OEC和OBC同底 由面积比得到OE：OB为1:2 所以三角形AOE和AOB的面积比也是1:2 那么设AOE面积为x 则AOB面积为2x 。再看三角形OCD和ODB 得到CD：BD为3:4 那么三角形ADC和ADB面积比也是3:4 得到方程 x+65:2x+40=3:4 解得x=70 再来看三角形AOC与BOC是同底的 得到两三角形的高之比为105:70=3:2 也就是说三角形AOF与AOB的面积比也是3:2 面积AOF+BOF=2x=140 所以AOF面积为84

◎题友 @周老师 的解答：

三角形AOF的面积=三角形ODC的面积*FO/OC*AO/OD，以下使用梅涅劳斯定理分别求FO/OC,AO/OD。 首先，由已知的三个三角形的面积，可以得到BO/OE=2，BD/CD=4/3。 1）由梅涅劳斯定理CD/BD*BO/OE*EA/AC=1,得EA/AC=2/3,即AE/EC=2. 由梅涅劳斯定理CB/BD*DO/OA*AE/EC=1,得AO/OD=7/2. 2)由塞瓦定理得，BD/DE*CE/EA*AF/FB=1,故AF/FB=3/2(同样可以用梅涅劳斯定理求出) 由CO/OF*FA/AB*BD/DC=1得，FO/OC=4/5. 综上即得，三角形AOF的面积=30*4/5*7/2=84.

◎题友 @张良C 的解答：

由图可知AD,BE，CF三线交于点O，由塞瓦定理可得如下等式: （BDCEAF）/（DCEAFB）=1 即（4/3）（35/x）（AF/FB）=1 ① 而三角形AOC与三角形BOC面积比为AF/FB 设三角形AOE面积为x，则AF/FB=（35+x）/70 ② 联立①②解得x=70，AF/FB=3/2； 同理三角形BOC与三角形BOA面积比为CE/EA=1/2 而三角形BOC面积为70，则三角形BOA面积为140 故题目所求三角形AOF面积为三角形BOA面积的 AF/（AF+FB）=3/5 综上所述三角形AOF面积为84

本期答案整理：子曰 编辑：子曰

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