【每日一题】反证法与放缩法
已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an+1，an+2…的最小值记为Bn，dn=An-Bn． （Ⅰ）若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N*，an+4=an），写出d1，d2，d3，d4的值； （Ⅱ）设d是非负整数，证明：dn=-d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列； （Ⅲ）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1． |
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答案
（Ⅰ）若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列， ∴d1=A1-B1=2-1=1， d2=A2-B2=2-1=1，d3=A3-B3=4-1=3，d4=A4-B4=4-1=3． （Ⅱ）充分性：设d是非负整数，若{an}是公差为d的等差数列，则an=a1+（n-1）d， ∴An=an=a1+（n-1）d，Bn=an+1=a1+nd，∴dn=An-Bn=-d，（n=1，2，3，4…）． 必要性：若 dn=An-Bn=-d，（n=1，2，3，4…）．假设ak是第一个使ak-ak-1＜0的项， 则dk=Ak-Bk=ak-1-Bk≥ak-1-ak＞0，这与dn=-d≤0相矛盾，故{an}是一个不减的数列． ∴dn=An-Bn=an-an+1=-d，即 an+1-an=d，故{an}是公差为d的等差数列． （Ⅲ）证明： 若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），则{an}的项不能等于零，否则d1=2-0=2，矛盾． 而且还能得到{an}的项不能超过2，用反证法证明如下： 假设{an}的项中，有超过2的，设am是第一个大于2的项，则dm=Am-Bm=am-1＞1， 这与已知dn=1相矛盾，故假设不对， 即{an}的项不能超过2，故{an}的项只能是1或者2． 下面用反证法证明{an}的项中，有无穷多项为1． 若ak是最后一个1，则ak是后边的各项的最小值都等于2，故dk=Ak-Bk=2-2=0，矛盾， 故{an}的项中，有无穷多项为1． 综上可得，{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1． |